Probabilidad

La probabilidad es la posibilidad de que se produzca un acontecimiento o un resultado, y se calcula dividiendo el número de veces que ha ocurrido un acontecimiento entre el número de veces que podría haber ocurrido.

Por ejemplo, digamos que tiene un dado de seis caras y quiere saber la probabilidad de sacar un determinado número, como un tres.

Normalmente, la probabilidad se escribe con P mayúscula, y P de A representa la probabilidad de que ocurra el "suceso A".

En esta situación, el suceso A es sacar un 6.

Como un dado tiene seis caras, hay seis números posibles que podría sacar, así que la probabilidad de sacar un tres es 1 dividido entre 6, o sea 0,167.

La probabilidad se puede escribir como un decimal o como un porcentaje, por lo que la posibilidad de sacar un tres es 0,167 veces 100 o el 16,7%.

Hay ocho reglas básicas en la probabilidad.

La primera regla establece que la probabilidad del suceso A puede oscilar entre 0 (o el 0%) y 1 (o el 100%).

Cuanto mayor sea la probabilidad, mayor será la posibilidad de que se produzca el suceso.

La segunda regla establece que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, la probabilidad de lanzar cada cara del dado es 0,167, y cuando sumamos 0,167 seis veces, es igual a 1.

A veces podemos querer encontrar la probabilidad de que un suceso no ocurra, como si quisiéramos calcular la probabilidad de no sacar un tres.

La probabilidad de que un suceso no ocurra se llama complemento, y se escribe como la probabilidad del suceso, excepto que tiene un símbolo de prima, que es sólo un apóstrofo.

La tercera regla de la probabilidad establece que la probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra.

Por lo tanto, la probabilidad de no sacar un tres es 1 menos 0,167, es decir, 0,833.

Dándole la vuelta, también significa que la probabilidad de que ocurra el suceso es igual a 1 menos el complemento.

Esto es útil en situaciones en las que queremos calcular la probabilidad de que ocurra un suceso, pero sólo conocemos la probabilidad de que el suceso no ocurra.

La regla 4 tiene que ver con la búsqueda de la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos, lo que se denomina un suceso compuesto.

Por ejemplo, digamos que queremos saber la probabilidad de sacar un 3 o sacar un 5.

En este caso, sacar un tres es el primer suceso, o suceso A, y sacar un 5 es el segundo suceso, o suceso B, por lo que la probabilidad de A o B es un suceso compuesto.

Ahora bien, hay dos tipos de sucesos compuestos, y el primero es la unión de dos sucesos, que es la probabilidad de que ocurra A o B.

Normalmente se escribe con el símbolo de la unión, que parece una pequeña U.

En una unión de dos sucesos, éstos pueden ser disjuntos (o mutuamente excluyentes) o no disjuntos (o no mutuamente excluyentes).

Así, si el suceso A es sacar un 3 y el suceso B es sacar un 5, entonces A y B son sucesos disjuntos, porque es imposible sacar un 3 y un 5 al mismo tiempo.

Los sucesos disjuntos suelen representarse con dos círculos (uno para el suceso A y otro para el suceso B) situados uno al lado del otro, sin que se solapen.

La regla 4 también se llama regla de la adición y establece que la probabilidad de dos sucesos disjuntos es la suma del primer suceso más el segundo.

Así, la probabilidad de sacar un 3 es de 0,167 y la probabilidad de sacar un 5 es de 0,167, por lo que la probabilidad de sacar un 3 o un 5 es de 0,167 más 0,167, es decir, 0,334, o el 33,4%.

Si dos sucesos no son disjuntos, entonces los dos sucesos pueden ocurrir al mismo tiempo.

Por ejemplo, si el suceso A es sacar un número menor o igual que 2 (por lo tanto, sacar un 1 o un 2) y el suceso B es sacar un número par, entonces A y B no son sucesos disjuntos, porque es posible sacar un 2, que es un número par menor o igual que 2.

Los sucesos no disjuntos suelen representarse con dos círculos superpuestos, y el área superpuesta es la probabilidad de que ambos sucesos ocurran al mismo tiempo.

En este ejemplo, el área superpuesta es la probabilidad de sacar un 2; el área no superpuesta en el círculo A es la probabilidad de sacar un 1, que es un número menor o igual que 2, pero no un número par; y el área no superpuesta en el círculo B es la probabilidad de sacar un 4 o un 6, que son números pares pero no números menores o iguales que 2.

Es un poco más complicado calcular la probabilidad para sucesos no disjuntos porque hay que tener en cuenta el área solapada.

Así que vamos a desglosarlo.

La probabilidad de sacar un número menor o igual a 2 es de 2 sobre 6, es decir, 0,33, y la probabilidad de sacar un número par, es decir, un 2, 4 o 6, es de 3 sobre 6, es decir, 0,5.

Si utilizamos la regla básica de la suma, la probabilidad de que se produzcan los sucesos A o B es de 0,33 más 0,5, es decir, 0,83, o el 83%.

Pero este número es en realidad mayor que la verdadera probabilidad de los sucesos A o B, porque el área de solapamiento se cuenta dos veces.

Para solucionarlo, tenemos que restar la probabilidad de la zona de solapamiento a la suma de las dos probabilidades individuales.

Así pues, la regla 5 establece que la probabilidad de dos sucesos no disjuntos es igual a la suma de la probabilidad del suceso A y la probabilidad del suceso B, menos la probabilidad de los sucesos A y B juntos.

Por ejemplo, digamos que la probabilidad de sacar un número par menor o igual que 2 es de 0,167.

Si la probabilidad del suceso A es de 0,33 y la del suceso B es de 0,5, entonces la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es de 0,33 más 0,5 menos 0,167, lo que equivale a 0,663, es decir, el 66,3%.

Una cosa importante a tener en cuenta es que la regla de adición para los sucesos disjuntos es en realidad la misma que la regla de adición para los sucesos no disjuntos (excepto que con los sucesos disjuntos no hay área de solapamiento) por lo que sólo se resta 0, y esta parte no se suele incluir en la ecuación.

Ahora cambiemos de tercio y hablemos de la situación en la que se quiere calcular la probabilidad de que se produzcan tanto el suceso A como el suceso B, o lo que es lo mismo, la probabilidad del área de solapamiento.

Se trata de la intersección de dos sucesos, y es el segundo tipo de suceso compuesto.

Normalmente, la intersección de dos sucesos se escribe con un símbolo de intersección, que parece una U invertida.

Para calcular la probabilidad de dos sucesos que se cruzan, hay que saber si los sucesos son independientes o dependientes.

Dos sucesos son independientes si la ocurrencia del primero no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro.

Por ejemplo, digamos que tengo dos dados y quiero saber la probabilidad de sacar un 3 en el primer dado (que es el primer suceso) y un 5 en el segundo dado (que es el segundo suceso).

En este caso, el resultado del primer dado no afecta en absoluto al resultado del segundo.