Probabilidad

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La probabilidad es la posibilidad de que se produzca un acontecimiento o un resultado, y se calcula dividiendo el número de veces que ha ocurrido un acontecimiento entre el número de veces que podría haber ocurrido.
Por ejemplo, digamos que tiene un dado de seis caras y quiere saber la probabilidad de sacar un determinado número, como un tres.
Normalmente, la probabilidad se escribe con P mayúscula, y P de A representa la probabilidad de que ocurra el "suceso A" En esta situación, el suceso A es sacar un 6.
Como un dado tiene seis caras, hay seis números posibles que podría sacar, así que la probabilidad de sacar un tres es 1 dividido entre 6, o sea 0,1 La probabilidad se puede escribir como un decimal o como un porcentaje, por lo que la posibilidad de sacar un tres es 0,167 veces 100 o el 16,7 Hay ocho reglas básicas en la probabilidad.
La primera regla establece que la probabilidad del suceso A puede oscilar entre 0 (o el 0%) y 1 (o el 100%) Cuanto mayor sea la probabilidad, mayor será la posibilidad de que se produzca el suceso.
La segunda regla establece que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, la probabilidad de lanzar cada cara del dado es 0,167, y cuando sumamos 0,167 seis veces, es igual a 1.
A veces podemos querer encontrar la probabilidad de que un suceso no ocurra, como si quisiéramos calcular la probabilidad de no sacar un tres.
La probabilidad de que un suceso no ocurra se llama complemento, y se escribe como la probabilidad del suceso, excepto que tiene un símbolo de prima, que es sólo un apóstrofo.
La tercera regla de la probabilidad establece que la probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra.
Por lo tanto, la probabilidad de no sacar un tres es 1 menos 0,167, es decir, 0,833. Dándole la vuelta, también significa que la probabilidad de que ocurra el suceso es igual a 1 menos el complement Esto es útil en situaciones en las que queremos calcular la probabilidad de que ocurra un suceso, pero sólo conocemos la probabilidad de que el suceso no ocurra.
La regla 4 tiene que ver con la búsqueda de la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos, lo que se denomina un suceso compuest Por ejemplo, digamos que queremos saber la probabilidad de sacar un 3 o sacar un 5.
En este caso, sacar un tres es el primer suceso, o suceso A, y sacar un 5 es el segundo suceso, o suceso B, por lo que la probabilidad de A o B es un suceso compue Ahora bien, hay dos tipos de sucesos compuestos, y el primero es la unión de dos sucesos, que es la probabilidad de que ocurra A o B Normalmente se escribe con el símbolo de la unión, que parece una pequeña U.
En una unión de dos sucesos, éstos pueden ser disjuntos (o mutuamente excluyentes) o no disjuntos (o no mutuamente excluyentes) Así, si el suceso A es sacar un 3 y el suceso B es sacar un 5, entonces A y B son sucesos disjuntos, porque es imposible sacar un 3 y un 5 al mismo tiempo Los sucesos disjuntos suelen representarse con dos círculos (uno para el suceso A y otro para el suceso B) situados uno al lado del otro, sin que se solapen.
La regla 4 también se llama regla de la adición y establece que la probabilidad de dos sucesos disjuntos es la suma del primer suceso más el segundo.
Así, la probabilidad de sacar un 3 es de 0,167 y la probabilidad de sacar un 5 es de 0,167, por lo que la probabilidad de sacar un 3 o un 5 es de 0,167 más 0,167, es decir, 0,334, o el 33,4 Si dos sucesos no son disjuntos, entonces los dos sucesos pueden ocurrir al mismo tiempo.
Por ejemplo, si el suceso A es sacar un número menor o igual que 2 (por lo tanto, sacar un 1 o un 2) y el suceso B es sacar un número par, entonces A y B no son sucesos disjuntos, porque es posible sacar un 2, que es un número par menor o igual que 2.
Los sucesos no disjuntos suelen representarse con dos círculos superpuestos, y el área superpuesta es la probabilidad de que ambos sucesos ocurran al mismo tiempo.
En este ejemplo, el área superpuesta es la probabilidad de sacar un 2; el área no superpuesta en el círculo A es la probabilidad de sacar un 1, que es un número menor o igual que 2, pero no un número par; y el área no superpuesta en el círculo B es la probabilidad de sacar un 4 o un 6, que son números pares pero no números menores o iguales que 2.
Es un poco más complicado calcular la probabilidad para sucesos no disjuntos porque hay que tener en cuenta el área solapada.
Así que vamos a desglosarlo. La probabilidad de sacar un número menor o igual a 2 es de 2 sobre 6, es decir, 0,33, y la probabilidad de sacar un número par, es decir, un 2, 4 o 6, es de 3 sobre 6, es decir, 0,5.
Si utilizamos la regla básica de la suma, la probabilidad de que se produzcan los sucesos A o B es de 0,33 más 0,5, es decir, 0,83, o el 83%.
Pero este número es en realidad mayor que la verdadera probabilidad de los sucesos A o B, porque el área de solapamiento se cuenta dos veces.
Para solucionarlo, tenemos que restar la probabilidad de la zona de solapamiento a la suma de las dos probabilidades individuales.
Así pues, la regla 5 establece que la probabilidad de dos sucesos no disjuntos es igual a la suma de la probabilidad del suceso A y la probabilidad del suceso B, menos la probabilidad de los sucesos A y B jun Por ejemplo, digamos que la probabilidad de sacar un número par menor o igual que 2 es de 0,167.
Si la probabilidad del suceso A es de 0,33 y la del suceso B es de 0,5, entonces la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es de 0,33 más 0,5 menos 0,167, lo que equivale a 0,663, es decir, el 66,3 Una cosa importante a tener en cuenta es que la regla de adición para los sucesos disjuntos es en realidad la misma que la regla de adición para los sucesos no disjuntos (excepto que con los sucesos disjuntos no hay área de solapamiento) por lo que sólo se resta 0, y esta parte no se suele incluir en la ecuación.
Ahora cambiemos de tercio y hablemos de la situación en la que se quiere calcular la probabilidad de que se produzcan tanto el suceso A como el suceso B, o lo que es lo mismo, la probabilidad del área de solapamiento.
Se trata de la intersección de dos sucesos, y es el segundo tipo de suceso compuesto. Normalmente, la intersección de dos sucesos se escribe con un símbolo de intersección, que parece una U invertida.
Para calcular la probabilidad de dos sucesos que se cruzan, hay que saber si los sucesos son independientes o dependientes.
Dos sucesos son independientes si la ocurrencia del primero no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, digamos que tengo dos dados y quiero saber la probabilidad de sacar un 3 en el primer dado (que es el primer suceso) y un 5 en el segundo dado (que es el segundo suceso) En este caso, el resultado del primer dado no afecta en absoluto al resultado del segundo.
Dicho de otro modo, independientemente de lo que saque en el primer dado, la probabilidad de sacar un 5 en el segundo dado es siempre de 1 sobre 6, es decir, 0,167.
Ahora, para calcular la probabilidad de sacar un 3 en el primer dado y un 5 en el segundo, se utiliza la regla 6 (la regla de la multiplicación de los sucesos independientes) que establece que la probabilidad de dos sucesos independientes es igual a la probabilidad del primer suceso por la probabilidad del segundo.
En este caso, ambas probabilidades son 0,167, por lo que 0,167 por 0,167 es 0,0278, es decir, el 2,78%. Por otro lado, si dos sucesos no son independientes, la ocurrencia de uno de ellos afecta a la probabilidad del otro, lo que se denomina probabilidad condicional Por ejemplo, digamos que quiere calcular la probabilidad de sacar una combinación de dos dados que sumen 7.
Así que tira dos dados, pero esta vez mantiene uno de ellos escondido bajo la mano y le enseña el otro a su amigo, que le dice que es un 5 o un 6.
En esta situación, lo que realmente queremos averiguar es la probabilidad del suceso A (que es obtener una combinación de dados que sumen 7) dado que ha ocurrido el suceso B (que es sacar un 5 o un 6).
Como la probabilidad del suceso A depende de lo que ocurra en el suceso B, estos sucesos no son independientes, y utilizamos la probabilidad condicional.
La forma de calcular la probabilidad condicional es utilizando la regla 7, que establece que la probabilidad condicional (o probabilidad del suceso A, dado lo ocurrido en el suceso B) es igual a la probabilidad del suceso A y del suceso B dividida entre la probabilidad del suceso B, y en esta ecuación, la palabra "dado" se sustituye normalmente por un símbolo de barra vertical.
El primer paso para hallar la probabilidad condicional es calcular la probabilidad de los dos sucesos A y B. Para hallar la probabilidad del suceso A (obtener una combinación de dados que sume 7) tenemos que calcular cuántas combinaciones diferentes de números puede haber con dos dados Esto se puede mostrar en una tabla de resultados, donde los posibles resultados del primer dado están en la parte superior y los posibles resultados del segundo dado están en el lateral, y los números del medio muestran la suma de ambos dad Así, hay un número 7 en la casilla superior derecha porque si saca un 1 en el primer dado y un 6 en el segundo, la suma es igual a 7.
El número total de casillas en la tabla de resultados es 36, y ese es también el número total de resultados posibles de la suma de 2 dados.
Una forma sencilla de calcularlo es multiplicar el número de resultados posibles para el primer dado, es decir, 6, por el número de resultados posibles para el segundo dado, que también es 6, lo que equivale a 36.
Ahora que sabe el número total de combinaciones para dos dados, tiene que calcular el número de combinaciones que son iguales a 7.
Mirando la tabla, puede ver que hay seis combinaciones para el número 7. Puede obtener un 1 en el primer dado y un 6 en el segundo; un 2 en el primer dado y un 5 en el segundo; o un 3 en el primer dado y un 4 en el segundo Por otro lado, podría obtener lo contrario para cada combinación, es decir, un 6 y un 1, un 5 y un 2, o un 4 y un 3.
Como hay 6 combinaciones posibles que suman 7 y 36 combinaciones totales posibles, la probabilidad del suceso A es de 6 sobre 36, es decir, 0,167.
Para la probabilidad del suceso B, hay 2 resultados posibles (si saca un 5 o si saca un 6) y hay 6 resultados posibles en total, porque podría haber sacado cualquiera de los números del dad Por lo tanto, la probabilidad del suceso B es de 2 sobre 6, es decir, 0,33.
Ahora que tiene las probabilidades del suceso A y del suceso B, puede introducirlas en la ecuación de probabilidad condicional Para hallar la probabilidad de los sucesos A y B, se utiliza la regla de la multiplicación, por lo que 0,167 por 0,33 es 0,055 A continuación, divide 0,055 entre la probabilidad del suceso B (o 0,33) para obtener 0,167.
También puede calcular la probabilidad condicional del suceso B, dado que el suceso A ha ocurrido. En otras palabras, puede calcular la probabilidad de que uno de los dados sea un 5 o un 6 dado que la suma de los dos dados es igual a 7.
Para ello, seguiría multiplicando la probabilidad de A (o 0,167) por la probabilidad de B (o 0,33), pero esta vez la dividiría entre la probabilidad de A.
Así, 0,167 por 0,33 es 0,055, dividido entre 0,167, es igual a 0,33. Ahora vamos a dar un paso más.
Podemos utilizar la probabilidad condicional para calcular la probabilidad del suceso A y del suceso B cuando los dos sucesos no son independientes, y ésta es la regla 8: la regla de la multiplicación de los sucesos dep endiente Esto es diferente de la regla 7, la probabilidad condicional, que es la probabilidad del suceso A dado el evento B ocurri De hecho, la regla de multiplicación de los sucesos dependientes utiliza la probabilidad condicional, y establece que la probabilidad de los sucesos A y B es igual a la probabilidad del suceso A por la probabilidad condicional del suceso B dado el suceso A.
Así, para calcular la probabilidad de los sucesos A y B (que sería la probabilidad de obtener una suma de dos dados igual a 7 y sacar un 5 o un 6) se multiplicaría la probabilidad del suceso A (o de obtener una suma de dos dados igual a 7) que era de 0,33, y la probabilidad condicional (o de sacar un 5 o un 6 dado que la suma de los dos dados era 7) que también era de 0,167.
Por tanto, la probabilidad de los sucesos A y B es 0,33 por 0,167, es decir, 0,055. En estos ejemplos, teníamos toda la información sobre cada una de las probabilidades, pero en la vida real esto no suele ser así.
##Resumen Como breve resumen... Hay ocho reglas básicas de la probabilidad.
La primera regla dice que la probabilidad del suceso A puede oscilar entre 0 y 1. La segunda regla dice que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles tiene que ser igual a 1.
La tercera regla dice que la probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra. La cuarta regla dice que la probabilidad de dos sucesos disjuntos es la suma de la probabilidad del suceso A y la probabilidad del suceso B.
La quinta regla dice que la probabilidad de dos sucesos no disjuntos es la suma de la probabilidad del suceso A y la probabilidad del suceso B menos la probabilidad de A y B juntos.
La sexta regla dice que la probabilidad de dos sucesos independientes es igual a la probabilidad del primer suceso por la probabilidad del segundo.
La séptima regla dice que la probabilidad del suceso A, dado lo ocurrido en el suceso B es igual a la probabilidad del suceso A y del suceso B dividida entre la probabilidad del suceso B.
Finalmente, la octava regla dice que la probabilidad de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad del suceso A por la probabilidad condicional del suceso B dado el suceso