Rango, varianza y desviación estándar

Definitions & Key takeaways

Range, variance, and standard deviation are all measures of the spread or dispersion of a set of numerical data. The range is the difference between the highest and lowest values in the data set. Variance is a measure of how far each value in a set of data is from the mean value. Variance is calculated by taking the average of the squared differences of each value from the mean. The larger the variance, the more spread out the data is from the mean. Standard deviation is the square root of the variance and it measures the spread of data around the mean. The larger the standard deviation, the more spread out the data is from the mean.

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Para entender un conjunto de datos, tener un solo número como la media o la mediana nos da un resumen de un número, pero entender cómo se distribuyen los datos también es muy importante, y ahí es donde el rango, la varianza y la desviación estándar pueden ser útiles.
Por ejemplo, supongamos que analizamos el peso de 10 personas y las dividimos en los grupos A y B. Pesos del grupo A (en kg) = 40 45 50 55 60.
Pesos del grupo B (en kg) 10 30 50 70 Media = (40+45+50+55+60)/5= 50 kg Media = (10+30+50+70+90)/5= 50 kg. Ahora, si calcula el peso medio del grupo A y del grupo B, encontrará que ambos tienen el mismo valor de 50 kg, pero los pesos de las personas del grupo A están mucho más centrados alrededor de la media que los del grupo B.
Así que vamos a empezar por mirar el rango, que es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo de un conjunto de dato En el grupo A, tenemos (60-40)=20 kg, mientras que en el grupo B tenemos (90-10)=80 kg.
Hasta ahora, todo correcto. Pero ahora, digamos que hemos decidido incluir otro grupo llamado grupo C.
Pesos del grupo C (en kg) = 10 45 50 55 90. Media = (10+45+50+55+90)/5= 50 kg Rango 90-10 = 80 kg.
Así pues, aunque cambiemos dos puntos de datos, el grupo C sigue teniendo la misma media y rango que el grupo B, ya que sólo depende de los valores más altos y más bajos, por lo que no proporciona información sobre cómo se distribuyen el resto de los puntos de datos.
En esta situación, está claro que necesitamos una mejor idea de cómo se distribuyen todos los valores y para ello podemos mirar la varianza.
Para calcular la varianza, que se escribe como σ2, tomamos cada punto de datos (x), lo restamos de la media (x-barra), y luego elevamos este valor al cuadrado para no terminar con un número negati A continuación, sumamos los valores al cuadrado y dividimos ese resultado entre el número total de puntos de datos (n) Así pues, utilicemos esta fórmula para calcular la varianza de los grupos A, B y C, donde los tres tenían una media de 50.
Así, para el grupo A, obtenemos (40-50)2+(45-50)2+(50-50)2+(55-50)2+(60-50)2/(5)=50 kg2. Para el grupo B, obtenemos: (10-50)2+(30-50)2+(50-50)2+(70-50)2+(90-50)2/(5) = 800 kg2.
Y para el grupo C, obtenemos: (10-50)2+(45-50)2+(50-50)2+(55-50)2+(90-50)2/(5) = 650 kg2. Así pues, con este nuevo valor (la varianza) podemos decir que los puntos de datos del grupo B están generalmente más alejados de la media que los del grupo C porque el grupo B tiene una varianza mayor.
Por comparación, está muy claro que los puntos de A tienen una dispersión mucho menor, en comparación con el grupo B y el grupo C.
Pero un problema con la varianza es que se termina con una unidad extraña para la varianza que es kg2 que no se puede comparar intuitivamente con la media o la mediana que está en kg.
Por lo tanto, para resolver este problema, podemos tomar la raíz cuadrada de la varianza, lo que nos da la desviación estánda Así, la ecuación de la desviación estándar, o σ, termina en las mismas unidades que la media.
Así pues, según esta ecuación, la desviación estándar para el grupo A es de 50 = 7,1 kg, para el grupo B es de 800 = 28,28 kg y para el grupo C es de 650 = 25,5 k Ahora bien, en situaciones en las que los datos se distribuyen normalmente, donde la mayoría de los puntos de datos tienden a centrarse en el valor central, y hay menos puntos de datos hacia los extremos, lo llamamos curva de campana.
Si pensamos en la desviación estándar en el contexto de este tipo de datos distribuidos normalmente, resulta que el 68% de los puntos de datos están dentro de una desviación estándar por encima o por debajo de la media, el 95% están dentro de dos desviaciones estándar y el 99% de los datos están dentro de tres desviaciones estándar.
Así que aplicando esto a una población, digamos que tomamos el peso de los adultos que viven en un país y que encontramos que los datos tienen una distribución normal.
Digamos que en todo el país el peso medio de los adultos es de 50 kg y que la desviación estándar entre miles de personas es de 7,1 k Esto significa que el 68% de la población pesaba entre 42,9 y 57,1 kg, lo que supone una desviación estándar por encima y por debajo de la media.
Que el 95% de la población pesaba entre 35,8 y 64,2 kg, lo que supone dos desviaciones estándar por encima y por debajo de la media.
Y que el 99% de la población pesaba entre 28,7 y 71,3 kg, lo que supone tres desviaciones estándar por encima y por debajo de la media.
##Resumen Como breve resumen... El rango, la varianza y la desviación estándar son tres medidas de di spersión.
La desviación estándar da la desviación media de la media de todos los puntos de datos y tiene la misma unidad que la media.