Distribución normal y puntuaciones z

Supongamos que se pregunta a 1.000 hombres por su peso y se representan sus respuestas en un histograma, que es un gráfico que muestra la distribución de cualquier medida o dato.

Digamos que el peso medio es de unos 77 kilogramos, y que resulta que la mayoría de los hombres pesaban esa cantidad, mientras que un número menor de ellos pesaba un poco más o un poco menos que la media, y aún menos pesaban mucho más o mucho menos que la media.

Si dibujamos una curva sobre nuestro histograma, obtenemos la curva de distribución normal, que también se llama curva de campana, porque tiene esta forma acampanada.

La curva de campana es simétrica, con la mitad de los datos a la izquierda de la media y la mitad de los datos a la derecha de la media.

El área bajo la curva de campana es igual a 1, es decir, el 100%, con el mayor porcentaje de datos en la sección central y el menor porcentaje de datos en las colas exteriores de la curva.

Por lo general, para los datos de la población, el punto medio de una curva de campana se etiqueta con la letra griega mu, y mu se refiere a la media, la mediana y la moda, porque cuando los datos se reparten según una distribución normal, la media, la mediana y la moda son iguales entre sí.

La desviación típica es una medida de la dispersión de los datos con respecto a la media, y para los datos de población se representa con la letra griega sigma.

Por ejemplo, supongamos que la desviación típica del peso de nuestra muestra de hombres es de 13 kilogramos.

En una distribución normal, el 68% de los datos están dentro de una desviación típica.

Esto significa que el 68% de los hombres pesarán entre 77 menos 13, o 64 kg, y 77 más 13, o 90 kg.

Además, el 95% de los datos se encuentran dentro de las dos desviaciones típicas, así que, como 13 por 2 es 26, entonces el 95% de los hombres pesarán entre 77 menos 26, o 51 kg, y 77 más 26, o 103 kg.

Por último, el 99,7% de los datos se encuentran dentro de tres desviaciones típicas, y como 13 por 3 es 39, el 99,7% de los hombres pesarán entre 77 menos 39, o sea 38 kg, y 77 más 39, o sea 116 kg.

Esta es la regla empírica, o regla del 68-95-99,7.

Ahora, la forma de la curva de campana depende del tamaño de la desviación típica.

Una desviación típica reducida, como si fuera de solo 5 kg, indica que la mayoría de los datos se agrupan en torno a la media, y esto hace que la curva de campana sea muy alta y delgada.

Por otro lado, una gran desviación típica, por ejemplo de 2,5 kg, indica que la mayoría de los datos están muy por encima y muy por debajo de la media, lo que hace que la curva de campana parezca muy amplia y plana.

Ahora, digamos que un hombre llamado Micah pesa 99 kg, y quiere saber lo cerca que está su peso del peso promedio.

Podemos calcular la diferencia de su peso con la media restando el peso medio, 77, de su peso, 99, que es igual a 22.

Ahora bien, decirle a Micah que pesa 22 kg por encima de la media no tiene mucho sentido, porque probablemente no sabe si 22 kg es mucho o poco.

En su lugar, podríamos comunicarle su puntuación z, o puntuación estándar, una medida del número de desviaciones típicas que tiene su peso con respecto al peso medio.

Las puntuaciones z van desde las 3 desviaciones típicas negativas, que estarían en el extremo más alejado de la cola izquierda, hasta las 3 desviaciones típicas positivas, que estarían en el extremo más alejado de la cola derecha.

En la distribución normal, el valor medio es el punto de referencia, por lo que es igual a 0 desviaciones típicas.

Para calcular la puntuación z de una medida individual, como el peso de Micah, utilizamos la ecuación z, que es igual a la medida menos la medida media de la población, dividida entre la desviación típica de la población.

Habitualmente, la medida individual se representa con la letra x, por lo que la ecuación también se puede escribir z es igual a x menos mu, dividido entre sigma.

Así que, para calcular la puntuación z de Micah, hacemos 99 menos 77, dividido entre 13, que es igual a 1,72.

Esto significa que el peso de Micah está 1,72 desviaciones típicas por encima de la media de la población.

También podemos averiguar qué porcentaje de hombres pesaba más o menos que Micah, utilizando una tabla de distribución normal estándar, o simplemente una tabla de puntuación z.