Distribución normal y puntuaciones z

Definitions & Key takeaways

The normal distribution is a continuous probability distribution that is symmetric about the mean, with a bell-shaped curve. 68%, 95%, and 99% of the data lies within one, two, and three standard deviations from the mean, respectively. The normal distribution represents the occurrence of many natural phenomena.

On the other hand, a Z-score indicates the number of standard deviations between a certain value and the mean. A Z-score of 0 indicates that the data point is exactly at the mean. A Z-score of 1 indicates that the data point is one standard deviation above the mean, and a Z-score of -1 indicates that the data point is one standard deviation below the mean. Z-scores can be used to determine how unusual a data point is within a dataset that follows a normal distribution.

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Supongamos que se pregunta a 1.000 hombres por su peso y se representan sus respuestas en un histograma, que es un gráfico que muestra la distribución de cualquier medida o dato.
Digamos que el peso medio es de unos 77 kilogramos, y que resulta que la mayoría de los hombres pesaban esa cantidad, mientras que un número menor de ellos pesaba un poco más o un poco menos que la media, y aún menos pesaban mucho más o mucho menos que la media Si dibujamos una curva sobre nuestro histograma, obtenemos la curva de distribución normal, que también se llama curva de campana, porque tiene esta forma acampanada.
La curva de campana es simétrica, con la mitad de los datos a la izquierda de la media y la mitad de los datos a la derecha de la media.
El área bajo la curva de campana es igual a 1, es decir, el 100%, con el mayor porcentaje de datos en la sección central y el menor porcentaje de datos en las colas exteriores de la curv Por lo general, para los datos de la población, el punto medio de una curva de campana se etiqueta con la letra griega mu, y mu se refiere a la media, la mediana y la moda, porque cuando los datos se reparten según una distribución normal, la media, la mediana y la moda son iguales entre sí.
La desviación típica es una medida de la dispersión de los datos con respecto a la media, y para los datos de población se representa con la letra griega sigma Por ejemplo, supongamos que la desviación típica del peso de nuestra muestra de hombres es de 13 kilogramos.
En una distribución normal, el 68% de los datos están dentro de una desviación típica. Esto significa que el 68% de los hombres pesarán entre 77 menos 13, o 64 kg, y 77 más 13, o 90 k Además, el 95% de los datos se encuentran dentro de las dos desviaciones típicas, así que, como 13 por 2 es 26, entonces el 95% de los hombres pesarán entre 77 menos 26, o 51 kg, y 77 más 26, o 103 Por último, el 99,7% de los datos se encuentran dentro de tres desviaciones típicas, y como 13 por 3 es 39, el 99,7% de los hombres pesarán entre 77 menos 39, o sea 38 kg, y 77 más 39, o sea 116 Esta es la regla empírica, o regla del 68-95-99,7.
Ahora, la forma de la curva de campana depende del tamaño de la desviación típica. Una desviación típica reducida, como si fuera de solo 5 kg, indica que la mayoría de los datos se agrupan en torno a la media, y esto hace que la curva de campana sea muy alta y delgad Por otro lado, una gran desviación típica, por ejemplo de 2,5 kg, indica que la mayoría de los datos están muy por encima y muy por debajo de la media, lo que hace que la curva de campana parezca muy amplia y plana.
Ahora, digamos que un hombre llamado Micah pesa 99 kg, y quiere saber lo cerca que está su peso del peso promedi Podemos calcular la diferencia de su peso con la media restando el peso medio, 77, de su peso, 99, que es igual a 22.
Ahora bien, decirle a Micah que pesa 22 kg por encima de la media no tiene mucho sentido, porque probablemente no sabe si 22 kg es mucho o poco.
En su lugar, podríamos comunicarle su puntuación z, o puntuación estándar, una medida del número de desviaciones típicas que tiene su peso con respecto al peso medio Las puntuaciones z van desde las 3 desviaciones típicas negativas, que estarían en el extremo más alejado de la cola izquierda, hasta las 3 desviaciones típicas positivas, que estarían en el extremo más alejado de la cola derecha En la distribución normal, el valor medio es el punto de referencia, por lo que es igual a 0 desviaciones típicas.
Para calcular la puntuación z de una medida individual, como el peso de Micah, utilizamos la ecuación z, que es igual a la medida menos la medida media de la población, dividida entre la desviación típica de la población.
Habitualmente, la medida individual se representa con la letra x, por lo que la ecuación también se puede escribir z es igual a x menos mu, dividido entre sigma Así que, para calcular la puntuación z de Micah, hacemos 99 menos 77, dividido entre 13, que es igual a 1,72.
Esto significa que el peso de Micah está 1,72 desviaciones típicas por encima de la media de la población. También podemos averiguar qué porcentaje de hombres pesaba más o menos que Micah, utilizando una tabla de distribución normal estándar, o simplemente una tabla de puntuación z.
El eje Y de la tabla representa los dos primeros dígitos de la puntuación z, que en este caso es 1,7, y el eje x de la tabla representa el tercer dígito de la puntuación z, que es 0,02.
Así, encontramos la fila de 1,7 y la columna de 0,02, y el número en el que coinciden es el porcentaje de hombres que pesan menos de 1,72 desviaciones típica Como la cifra es 0,9573, eso significa que el 95,73% de los hombres de la población pesarán menos de 1,72 desviaciones típicas.
En otras palabras, Micah pesa más que el 96% de los hombres. También podemos calcular cuántos hombres pesarán más que Micah restando el porcentaje de 100, así que 100 menos 95,73 es aproximadamente el 4 Las tablas de puntuación z también son útiles para calcular la desviación típica si tenemos un determinado porcentaje.
Por ejemplo, una persona puede descubrir que está en el 10º percentil superior, lo que significa que el 10% de la población pesa más que ella y el 90% de la población pesa meno Para saber cuántas desviaciones típicas por encima de la media está una persona en el percentil 10, trabajamos hacia atrás utilizando la tabla de puntuación z.
Por lo tanto, encontramos el número de la tabla que más se acerca al 90%, o al 0,90, que en este caso es el 0,8997. A continuación, encontramos los dos primeros dígitos de esa fila, que es 1,2, y el tercer dígito, que es 0,08, y los sumamos.
Así, 1,2 más 0,08 es 1,28, lo que significa que una persona en el percentil 90 de peso está 1,28 desviaciones típicas por encima de la media Y esta cifra tiene sentido por la regla empírica, ya que 1,28 está entre 1 y 2 desviaciones típicas, y el 90% se encuentra entre el 68 y el 95%.
Expresado en términos de kg, sería 1,28 por la desviación típica de 13 kg, es decir, 17 kg. Así que 77 kg menos 17 kg son 60 kg, y esa es la marca del 10%, y 77 kg más 17 kg son 94 kg, y esa es la marca del 90 Ahora bien, también es posible que la población de 1.000 hombres tenga una distribución sesgada en lugar de una distribución normal, lo que significa que una cola de la curva de campana es más larga que la otr Una distribución sesgada a la derecha significa que la cola derecha es más larga que la cola izquierda, y una distribución sesgada a la izquierda quiere decir que la cola izquierda es más larga que la cola derech Cuando la distribución es sesgada, la media, la mediana y la moda no son iguales entre sí.
Además, la media no está en el centro de la curva, así que la regla empírica no funciona. Por ejemplo, digamos que la población de hombres tiene una distribución asimétrica, de modo que el peso más bajo es de 64 y el más alto de 136, pero la media sigue siendo de 77 y la desviación típica de En este caso, es imposible calcular 2 desviaciones típicas por debajo de la media, porque 77 menos 26 es 51, y eso está fuera del intervalo de pesos de esta población.
Así pues, los datos de una distribución sesgada suelen describirse por su mediana, más su primer cuartil, que es el número medio entre la mediana y la medida más pequeña, y el tercer cuartil, o número medio entre la mediana y la medida más grande.
##Resumen Como breve resumen... La desviación típica muestra la distancia de ciertas mediciones con respecto a la media y, en una distribución normal, el 68% de las mediciones están dentro de una desviación típica de la media, el 95% están dentro de dos desviaciones típicas y el 99,7% se encuentran dentro de tres desviaciones típicas La puntuación z es igual a x menos mu, dividido entre sigma, donde x es la medida individual, mu es la media de la población y sigma es la desviación típica.
A continuación, podemos buscar qué porcentaje de mediciones está por encima o por debajo de esa puntuación z utilizando una tabla de puntuación z.