Regresión lineal

Suponga que quiere averiguar si fumar más cigarrillos conduce a un menor volumen espiratorio forzado, o VEF, que es la cantidad total de aire, en litros por segundo, que una persona puede exhalar en una sola respiración forzada.

Los hombres sanos suelen tener un VEF de unos 4 litros por segundo.

Ahora bien, para averiguar si los hombres que fuman tienen un VEF más bajo, se podría preguntar a 100 hombres cuántos cigarrillos fuman en un día, y luego medir el VEF de cada uno.

Estas mediciones, o puntos de datos, se podrían representar en un gráfico de dispersión, con el número de cigarrillos, que es la exposición, en el eje de abscisas, y el VEF, que es el resultado, en el de ordenadas, y donde cada punto de datos representa a una persona.

Normalmente, se dibuja una línea de tendencia lineal, o modelo, para representar el patrón de los puntos de datos en el gráfico.

En teoría, se pueden trazar muchas líneas para representar los puntos de datos, pero la mejor línea de tendencia es la que tiene el error más bajo, que se define como una medida de la distancia entre un punto de datos y la línea de tendencia.

Por lo general, nos interesa el error al cuadrado, que es la distancia entre el punto de datos y la línea, elevada al cuadrado.

Por ejemplo, si un punto de datos está muy cerca de la línea de tendencia, el error cuadrático es pequeño.

Por otra parte, si un punto de datos está muy alejado de la línea de tendencia, el error cuadrático es grande.

Si se suman todos los errores al cuadrado de una línea, se obtiene el error total al cuadrado, y una línea con un error total al cuadrado menor se considera que se ajusta mejor a los datos que si la línea se asocia con un error total al cuadrado más elevado.

Ahora bien, cuando dos variables están relacionadas linealmente, es posible que queramos saber específicamente lo que ocurre con la variable de resultado cuando cambia la variable de exposición.

Por ejemplo, podríamos querer saber cómo cambia el VEF de una persona si fuma cinco cigarrillos al día en comparación con si diariamente fuma diez cigarrillos.

Para averiguarlo, tenemos que utilizar la regresión lineal, un método estadístico que calcula una ecuación para la línea de tendencia que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos.

En concreto, en este caso, utilizaríamos una regresión lineal simple, ya que solo tenemos dos variables: una variable y, que es la medición del VEF, y una variable x, que es el número de cigarrillos.

En esto se diferencia de la regresión lineal múltiple, en la que hay una variable y y dos o más variables x.

Normalmente, la regresión lineal múltiple se utiliza para controlar las variables de confusión, o variables x que distorsionan la verdadera relación entre la variable de exposición principal y la variable de resultado.

Por ejemplo, la edad es una variable de confusión en la relación entre el tabaquismo y el VEF, ya que las personas mayores tienden a tener un VEF más bajo que los jóvenes.

Supongamos que se quiere averiguar cómo cambia el VEF en las personas que fuman más cigarrillos al día, controlando la edad.

En este ejemplo, hay dos variables x (el número de cigarrillos que fuma una persona y su edad), por lo que habría que utilizar la regresión lineal múltiple.

Ahora, en la regresión lineal se manejan cuatro supuestos clave, referidos colectivamente por el acrónimo L-I-N-E, o LINE.

En primer lugar, la relación entre las dos variables debe ser Lineal, lo que significa que la línea de tendencia trazada para representar los puntos de datos es una recta.

Las relaciones que tienen un tipo de curva diferente, como en una relación exponencial o en forma de U, tendrán un coeficiente de correlación bajo, porque una línea de tendencia recta no se ajusta a la forma de los puntos de datos.

El segundo supuesto establece que cada persona de la muestra fue reclutada de manera independiente con respecto a las demás.

En otras palabras, ninguna persona influyó en la inclusión o no de otra en el estudio.

Por ejemplo, si una persona acepta participar en el estudio solo si su amigo también puede ser incluido en el mismo, entonces estas dos personas no serían independientes entre sí y no se cumpliría el segundo supuesto.

El reclutamiento independiente garantiza que las personas incluidas en el estudio tienen características similares a las de la población diana, y que los resultados de la prueba pueden aplicarse a dicha población diana, con lo cual tendría una buena validez externa.

Además, la población de la muestra debe haber sido reclutada aleatoriamente, como si se eligieran 100 nombres al azar de una lista de todos los nombres de la población diana.

Al igual que el reclutamiento independiente, el muestreo aleatorio es importante porque garantiza que la población de la muestra se aproxima a la población diana.

El tercer supuesto es que los errores entre los valores observados y predichos de y se disponen según una distribución Normal en torno a un valor de x.

Aunque al principio pueda parecer confuso, no hay de qué preocuparse.

Lo analizaremos despacio, revisando la línea de tendencia, que muestra un valor y predicho para un valor x específico.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una línea de tendencia con el siguiente aspecto.

Según nuestra línea de tendencia, para las personas que fuman 10 cigarrillos al día, predecimos que su VEF será de unos 3 litros por segundo.

Pero en realidad, algunas personas que fuman 10 cigarrillos al día tendrán un VEF superior o inferior a 3, simplemente debido a las diferencias individuales, como la edad de la persona o la cantidad de ejercicio que realiza.

Recuerde, por otra parte, que la distancia a la que se encuentra un punto de la línea de predicción se llama error, y de los puntos que están lejos de la línea se dice que tienen un error alto.

De este modo, el tercer supuesto establece que los errores de un punto dado seguirán una curva de campana de distribución normal, lo que significa que la mayoría de las personas tendrán un error bajo, con lo que su VEF estará situado en torno a la línea de tendencia; solo algunas tendrán un error alto, con un VEF por encima o por debajo de dicha línea de tendencia.

Así sucede para todos los valores de x, o para cada número de cigarrillos fumados al día.

El cuarto supuesto indica que los puntos de datos deben tener varianza Equivalente (igual), lo que también se llama homoscedasticidad.

Básicamente, esto significa que los puntos de datos están separados por la igual de la línea de tendencia para cada valor de x.

Si los puntos de los datos están más cerca de la línea de tendencia en un extremo y más lejos en el otro, entonces no se cumple el supuesto de equivalencia de varianza y los datos son heteroscedásticos.

Volviendo a la regresión lineal simple, una línea de tendencia lineal está representada por la ecuación y-hat es igual a b0 más b1x1, donde y-hat es el valor estimado para la variable de resultado, que en este caso es el VEF, y x1 es el valor de la variable de exposición, por lo que en este caso es el número de cigarrillos que fuma una persona.

b0 representa la intersección y, y b1 es la pendiente de la línea.

Normalmente, utilizamos un programa informático estadístico para calcular la ecuación lineal, y el programa informático proporcionará b0 y b1, que podemos introducir en nuestra ecuación.

Por ejemplo, digamos que el programa informático nos da un b0 de 4 y un b1 de 0,1 negativo, por lo que la ecuación de la recta sería y-hat igual a 4 menos 0,1 por x1.

Esta ecuación proporciona dos datos cruciales.

En primer lugar, b0 indica el valor medio de la variable de resultado cuando la variable de exposición es igual a cero.