Correlación

La correlación es una técnica estadística que muestra si dos variables cuantitativas están relacionadas, y también con qué intensidad.

Por ejemplo, supongamos que queremos averiguar si beber más refrescos está relacionado con tener un mayor índice de masa corporal o IMC.

Así, se pregunta a 100 personas cuántas bebidas azucaradas toman a la semana y luego se comprueba la altura y el peso de cada persona para calcular su IMC.

Estas mediciones o puntos de datos podrían representarse en un gráfico de dispersión, con el número de bebidas en el eje de las abscisas y el IMC en el de las ordenadas, de modo que cada punto de datos representa a una persona.

Normalmente, se dibuja una línea de tendencia para representar mejor el patrón de puntos de datos en el gráfico, con aproximadamente la mitad de los puntos por encima de la línea y la otra mitad por debajo.

Una correlación positiva significa que el IMC aumenta a medida que lo hace el número de bebidas y, si las dos variables mantienen una correlación positiva perfecta, la línea de tendencia pasará por todos los puntos de datos.

Imaginemos ahora que hay una correlación negativa.

Esto significa que el IMC disminuye a medida que aumenta el número de bebidas y, con una correlación negativa perfecta, la línea de tendencia también pasa por todos los puntos de datos.

Por último, si no hay correlación, los puntos de datos se dispersarán aleatoriamente por todo el gráfico de dispersión y la línea de tendencia será plana, sin dirección positiva o negativa.

Para averiguar la intensidad de la correlación entre dos variables, podemos utilizar la prueba de correlación de Pearson, que es una prueba paramétrica que mide la proximidad o la dispersión de los puntos de datos con respecto a la línea de tendencia.

La prueba de correlación de Pearson calcula un coeficiente de correlación, que es un número que representa lo bien que están correlacionadas las dos variables, y normalmente se escribe con una r minúscula.

El coeficiente de correlación puede oscilar entre 1 negativo, que representa una correlación negativa perfecta, y 1 positivo, correspondiente a una correlación positiva perfecta.

Un coeficiente de correlación de 0 significa que no hay correlación entre las dos variables.

Existen cuatro supuestos clave que se utilizan en una prueba de correlación de Pearson, y un acrónimo para estos supuestos es L-I-N-E, o LINE.

En primer lugar, la relación entre las dos variables debe ser lineal, lo que significa que la línea de tendencia trazada para representar los puntos de datos es una recta.

Las relaciones que tienen un tipo de curva diferente, como en una relación exponencial o en forma de U, tendrán un coeficiente de correlación bajo porque una línea de tendencia recta no se ajusta a la forma de los puntos de datos.

El segundo supuesto es que cada persona de la muestra fue reclutada independientemente de otras personas de la muestra.

En otras palabras, ninguna persona influyó en la inclusión o no de otra persona en el estudio.

Por ejemplo, si una persona acepta participar en el estudio solo si su amigo también puede ser incluido en el mismo, entonces estas dos personas no serían independientes entre sí y no se cumpliría el segundo supuesto.

El reclutamiento independiente garantiza que las personas incluidas en el estudio tienen características similares a las de la población diana, y que los resultados de la prueba pueden aplicarse a la población diana, lo que significa que tiene una buena validez externa.

Además, la población de la muestra debe haber sido reclutada aleatoriamente, como si se eligieran 100 nombres al azar de una lista de todos los nombres de la población diana.

Al igual que el reclutamiento independiente, el muestreo aleatorio es importante porque garantiza que la población de la muestra se aproxima a la población diana.

El tercer supuesto es que los errores entre los valores observados y predichos de y se distribuyen Normalmente en torno a un valor de x.

Esto puede parecer confuso, pero no se preocupe.

Vamos a desglosarlo, revisando la línea de tendencia, que muestra un valor y predicho para un valor x específico.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una línea de tendencia con el siguiente aspecto.

Según nuestra línea de tendencia, para las personas que toman 2 bebidas azucaradas a la semana, predecimos que su IMC será de alrededor de 23.

Pero, en realidad, algunas personas que toman 2 bebidas tendrán un IMC superior o inferior a 23, simplemente debido a diferencias individuales, como la edad de una persona o la cantidad de ejercicio que realiza.

La distancia a la que se encuentra un punto de la línea de predicción se denomina error, y se dice que los puntos que están lejos de la línea tienen un error elevado.

La tercera suposición sostiene que los errores para un punto dado seguirán una curva en forma de campana con distribución normal, lo que significa que la mayoría de las personas tendrán un error bajo, por lo que su IMC se agrupará cerca de la línea de tendencia; y menos personas tendrán un error alto, con lo que su IMC será más alto o más bajo que la línea de tendencia.

Así sucede para cada valor de x, o para cada número de bebidas azucaradas por semana.

El cuarto supuesto indica que los puntos de datos deben tener igual varianza, lo que también se llama homocedasticidad.

Básicamente, esto significa que los puntos de datos están igualmente separados de la línea de tendencia para cada valor de x.

Si los puntos de los datos están más cerca de la línea de tendencia en un extremo y más lejos en el otro, entonces no se cumple el supuesto de igualdad de varianza y los datos son heteroscedásticos.

Así que, volviendo a la prueba de correlación de Pearson, comienza con dos hipótesis.

La hipótesis nula establece que r es igual a cero, o lo que es lo mismo, que no hay correlación entre dos variables.

Por su parte, la hipótesis alternativa es que r no es igual a cero, o que existe una correlación entre dos variables.

Para probar estas hipótesis tenemos que calcular el coeficiente de correlación, para lo cual se aplican cinco pasos.

El primer paso consiste en hallar la suma de cada uno de los valores x, que en este ejemplo es el número de bebidas.

Como ejemplo sencillo, utilizaremos una muestra de 5 personas, y supondremos que el número de bebidas que consume cada persona es de 3, 5, 8, 10 y 12.

A menudo, la suma se escribe con la letra griega sigma, por lo que la suma de todos los valores x es 3 más 5 más 8 más 10 más 12, igual a 38.

Así, nuestra población de muestra de 5 personas toma alrededor de 38 bebidas azucaradas a la semana.

El segundo paso consiste encontrar la suma de cada uno de los valores y, en este ejemplo, es el IMC de cada persona.

Así, digamos que los cinco personas tenían un IMC de 24, 23, 28, 29 y 35, y cuando los sumamos todos obtenemos 139.

Esto significa que nuestra población de muestra de 5 personas tiene un IMC combinado de 139.

El tercer paso consiste en encontrar la suma de cada uno de los valores al cuadrado de x y la suma de cada uno de los valores al cuadrado de y.

Así, cuando elevamos al cuadrado cada valor x, obtenemos 9, 25, 64, 100 y 144, y si los sumamos todos obtenemos 342.

Cuando elevamos al cuadrado cada valor y, obtenemos 576, 529, 784, 841 y 1.225, y si los sumamos todos obtenemos 3.995.

El cuarto paso es encontrar la suma de x por y.

Para ello, multiplicamos el valor de x de la primera persona por el valor de y de dicha primera persona, por lo que 3 por 24 es 72.

Luego, lo repetimos para las otras cuatro personas: así, 5 por 23 es 115, 8 por 28 es 224, 10 por 29 es 290 y 12 por 35 es 420.

Finalmente, sumamos esos valores para obtener 1.121.

El quinto paso consiste en introducir todas las sumas que acabamos de encontrar en la ecuación del coeficiente de correlación, que tiene el siguiente aspecto.

Esta ecuación tiene muchas partes diferentes, así que vamos a desglosarla.

En el numerador, tenemos n, o el tamaño de la muestra, por la suma de x por y, menos la suma de x por la suma de y.