Regresión logística

La regresión logística es un tipo de método estadístico que se utiliza para describir la relación entre una variable de resultado y una o más variables de exposición.

En la regresión logística, la variable de resultado es siempre categórica, y las de exposición pueden ser categóricas o cuantitativas.

Por ejemplo, supongamos que se quiere averiguar si fumar más cigarrillos aumenta la posibilidad de sufrir un infarto de miocardio.

En este caso, el número de cigarrillos es una exposición cuantitativa y el hecho de que una persona sufra o no un infarto de miocardio es un resultado categórico.

Ahora bien, para averiguarlo se podría preguntar a 200 personas cuántos cigarrillos fuman al día, y luego llevar un seguimiento de ese grupo de personas durante cinco años para ver quién tiene un infarto de miocardio y quién no.

Los datos podrían organizarse en una tabla como la que se muestra, en la que la primera columna, o variable, es el número de cigarrillos que fuma una persona, la segunda columna es si ha tenido o no un infarto de miocardio y el resto de las columnas son otras características, o variables, que se han recogido sobre cada persona, como la edad, el sexo y el índice de masa corporal, o IMC.

Normalmente, para las variables binarias, por ejemplo, con valores de sí/no, se utilizan los números 0 y 1 para representar las dos respuestas posibles.

Así, para la variable de infarto de miocardio, podría decirse que el 0 representa "no" y el 1 representa "sí".

Podría tomarse la misma decisión para el sexo, donde el 0 representa a las mujeres y el 1 a los hombres.

Analicemos ahora las dos primeras variables: cuántos cigarrillos se fuman y si se ha tenido o no un infarto de miocardio.

Se podrían representar estas mediciones, o puntos de datos, en un gráfico de dispersión, con el número de cigarrillos en el eje de las abscisas y el infarto de miocardio en el de las ordenadas, y en el que cada punto de datos representa a una persona.

Este gráfico de dispersión puede parecer un poco extraño, porque todos los puntos de datos están agrupados en dos puntos del eje Y: en el 0, que representa el no, o en el 1, que representa el sí.

El gráfico de dispersión ayuda a averiguar cómo cambian las posibilidades ("odds") de sufrir un infarto de miocardio de las personas a medida que fuman cada vez más cigarrillos.

Tal es el objetivo de la regresión logística.

En estadística es frecuente confundir los conceptos de probabilidad y de "odds" (posibilidades), por lo que a continuación se exponen las diferencias.

Se llama probabilidad al número de veces que ocurre un resultado dividido entre el número de veces que podría haber ocurrido; suele representarse con una P mayúscula.

Así, a partir de los datos, sería posible calcular la probabilidad de tener un infarto de miocardio por cada número de cigarrillos fumados al día.

Supongamos que el rango del número de cigarrillos fumados está entre 0 y 19, por lo que el gráfico de dispersión se puede dividir en 20 secciones diferentes; son 20 secciones, y no 19, porque el 0 también es una sección.

Ahora, para hallar la probabilidad de sufrir un infarto de miocardio en una sección específica, se cuenta el número de personas que han sufrido infartos de miocardio en esa sección y se divide entre el número total de personas en la sección.

A modo de ejemplo, supongamos que hay 10 personas en la sección de 15 cigarrillos o, en otras palabras, 10 personas en el estudio que fuman 15 cigarrillos al día; de esas 10 personas, 6 tuvieron infartos de miocardio.

Así, la probabilidad de padecer un infarto de miocardio para las personas que fuman 15 cigarrillos al día es de 6 sobre 10, es decir, del 60%.

Ahora cambiemos de tercio y hablemos de las "odds" (posibilidades).

Las "odds" comparan la probabilidad de que se produzca un resultado con la probabilidad de que no se produzca, por lo que la ecuación de las "odds" es P dividida entre 1 menos P.

Así, en el ejemplo, se utilizaría la probabilidad de tener un infarto de miocardio, que es del 60%, o 0,6, comparada con la de no tener un infarto de miocardio, que es 1 menos 0,6, es decir, 0,4.

Si se dividen ambos lados entre 0,4 se obtiene 1,5 frente a 1.

Para que sea más fácil de interpretar, multipliquemos ambos lados por dos, de modo que se obtiene una proporción de 3 a 2.

Dicho de otro modo, de todas las personas que fuman 15 cigarrillos al día, hay 3 que sufren infartos de miocardio por cada 2 personas que no los tienen.

Volviendo al gráfico de dispersión...

Normalmente, en la regresión lineal se dibuja una línea de tendencia lineal para representar el patrón de los puntos de datos en el gráfico; esa línea se representa con la ecuación: y-hat es igual a b0 más b1x1, donde y-hat es el valor estimado para la variable de resultado; x1 es el valor de la variable de exposición; b0 representa la intersección y, y b1 representa la pendiente de la línea.

Ahora bien, en la regresión logística, la línea de tendencia tiene un aspecto algo diferente.

Esto se debe a que los puntos de datos de la regresión logística no están dispuestos en línea recta, por lo que una línea de tendencia lineal no es un buen ajuste, o representación, de los datos.

En cambio, la línea de tendencia de la regresión logística es curva, y concretamente, una curva en forma de S.

La ecuación de esta curva en forma de S es P igual a e elevado a la potencia de b0 más b1x1, dividido entre 1 más e elevado a la potencia de b0 más b1x1.

Llegados a este punto, es razonable preguntarse qué tienen que ver las líneas de tendencia con la probabilidad y las "odds".

Pues bien, la pendiente de una línea en un punto concreto representa una determinada probabilidad, de modo que un punto de datos en una pendiente muy pronunciada representa una alta probabilidad y un punto de datos en una pendiente muy superficial representa una probabilidad baja.

Así, con una curva en forma de S, la probabilidad de un suceso, que en este caso es la de sufrir un infarto de miocardio, es diferente en varios puntos de la línea, lo que hace que sea bastante difícil de interpretar.

Por ejemplo, hacia la parte inferior de la línea, la probabilidad es baja, después aumenta hacia la mitad de la línea y luego, en la parte superior de la línea, es baja de nuevo.

Esto supone un problema porque, normalmente, se desea trazar una línea que represente a toda la población de la muestra, para poder obtener conclusiones sobre toda la misma en su conjunto.

Para solucionar este problema es preciso transformar, o cambiar, los puntos de datos para que estén dispuestos en el gráfico en un patrón más lineal.

Para ello, dejaremos a un lado la probabilidad para centrarnos en las "odds" o posibilidades; de hecho, hemos de dar un paso más allá y cambiar al logaritmo de las "odds", el llamado log-odds.

Así, si la ecuación básica de las "odds" es P sobre 1 menos P, entonces para cambiar la ecuación de probabilidad a una ecuación de "odds" hacemos que P sobre 1 menos P sea igual a -e elevado a la potencia de b0 más b1x1 - sobre - 1 menos e elevado a la potencia de b0 más b1x1.

Si se simplifica esta ecuación, que no mostraremos aquí en aras de no complicar la exposición, lo que se obtiene es que P sobre 1 menos P es igual a e elevado a la potencia de b0 más b1x1.

Esta es la ecuación de las "odds".

Para cambiar la ecuación de las "odds" por la de los logaritmos, simplemente tomamos el logaritmo de ambos lados.

Por lo tanto, terminamos con el logaritmo de P sobre 1 menos P igual a b0 más b1x1.