ANOVA de dos vías

El análisis de la varianza, o ANOVA, es un tipo de prueba estadística paramétrica que se utiliza para determinar si existe una diferencia significativa entre las medias o promedios de tres o más grupos.

La significación se define normalmente por un valor de p inferior a 0,05, es decir, al 5%.

Cuando se realiza una prueba paramétrica, es preciso hacer tres supuestos clave sobre la población.

En primer lugar, la población de la muestra debe haber sido reclutada aleatoriamente.

La elección de los nombres aleatoriamente garantiza que las personas incluidas en el estudio tendrán características similares a las de la población diana.

Esto es importante porque garantiza que los resultados de la prueba de la t pueden aplicarse a la población diana, lo que significa que tiene una buena validez externa.

El segundo supuesto establece que cada persona de la muestra fue reclutada de manera independiente con respecto a las demás.

En otras palabras, ninguna persona influyó en la inclusión o no de otra en el estudio.

Por ejemplo, si dos amigos decidieran medirse la tensión arterial el mismo día y ambos estuvieran incluidos en el estudio, estas dos personas no serían independientes entre sí y no se cumpliría la segunda hipótesis.

Al igual que el muestreo aleatorio, el reclutamiento independiente de personas es importante porque garantiza que la población de la muestra se aproxima a la población diana.

El tercer supuesto es que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para aproximarse a la población diana, lo que en general significa que es de más de 20 personas.

Si es imposible conseguir un tamaño de muestra grande, entonces la población de la muestra debe seguir una distribución normal en forma de campana para la característica que se estudia, porque es lo que esperaríamos ver en la población diana.

Supongamos que hay tres fármacos disponibles para reducir la presión arterial sistólica, y que se quiere averiguar si alguno de ellos funciona de forma diferente a los demás.

Imaginemos que, además, hay que averiguar si los medicamentos funcionan de forma diferente para los hombres y las mujeres.

Digamos que se encuentra a 6 personas (3 hombres y 3 mujeres) que toman el medicamento A durante 6 semanas y que, después, la presión arterial sistólica media es de 130 mmHg para los hombres y de 125 mmHg para las mujeres.

A continuación, se encuentra a otros 3 hombres y otras 3 mujeres que han estado tomando la medicación B, después de lo cual la presión arterial sistólica media es de 138 para los hombres y 126 para las mujeres.

Finalmente se recluta a 3 hombres y 3 mujeres que han tomado la medicación C, a raíz de lo cual la presión arterial sistólica es de 132 para los hombres y 125 para las mujeres.

Estos valores pueden organizarse en una tabla como la que se presenta, donde el sexo se encuentra en la parte superior y el tipo de medicación, en el lateral.

Cada celda representa un valor medio de presión arterial sistólica.

Para averiguar si el tipo de medicación y el sexo tienen un efecto sobre la presión arterial sistólica, puede utilizarse una prueba ANOVA.

En concreto, se utilizaría una prueba ANOVA bifactorial, porque se desea someter a ensayo dos factores (el tipo de medicación y el sexo) que tienen varios grupos cada uno.

Se distinguen tres grupos en el factor de medicación (A, B y C) y se utilizarán dos grupos para el sexo (hombre y mujer).

Una prueba ANOVA bifactorial maneja seis hipótesis.

Las tres primeras son hipótesis nulas.

La primera hipótesis nula afirma que no existen diferencias en la presión arterial sistólica de las personas que toman distintos tipos de medicamentos.

La segunda hipótesis nula sostiene que no hay diferencias en la presión arterial sistólica de hombres y mujeres.

La tercera hipótesis nula dice que no hay interacción entre el tipo de medicación y el sexo.

Como interacción se entiende la situación en que un factor influye en la relación entre el segundo factor y el resultado.

Así, en este ejemplo, la interacción significaría que el efecto de la medicación sobre la presión arterial sistólica es diferente para los hombres y para las mujeres.

Las hipótesis alternativas son las contrarias a las nulas.

La primera indica que existe una diferencia en la presión arterial sistólica para las personas que toman distintos tipos de medicación; la segunda afirma que hay una diferencia en la presión arterial sistólica para hombres y mujeres, y la tercera, que puede observarse una interacción entre el tipo de medicación y el sexo.

Para probar estas hipótesis se realizan siete pasos.

El primer paso consiste en calcular la media de cada factor, es decir, la media de todos los tipos de medicamentos y la media de los dos sexos.

Para determinar la presión arterial sistólica media de toda la fila para el grupo de la medicación A se suman las presiones sanguíneas medias de los hombres y las mujeres de ese grupo y se dividen por 2.

Así, 130 más 125, dividido por 2, es igual a 127,5.

Puede hacerse lo mismo para los grupos de medicación B y C.

En este caso, 138 más 126 dividido por 2 es 132.

A su vez, 132 más 125, dividido por 2 es 128,5.

Por último, puede hallarse la media general (que es la media de las mediciones de presión arterial de todos los grupos de medicación) sumando las medias de cada fila y dividiéndolas por 3.

Así, 127,5 más 132 más 128,5 dividido por 3 produce una media general de 129.

Para determinar las medias globales de la columna para el segundo factor, se suman las medias de las presiones sanguíneas en cada grupo de medicación y se dividen por 3.

Así, para los hombres, 130 más 138 más 132 dividido por 3 es 133,3; para las mujeres, 125 más 126 más 125 dividido por 3 es igual a 125,3.

Obsérvese que si se suman las medias de las columnas de ambos sexos y se dividen por 2, se obtiene 129, que es la media general.

El segundo paso consiste en calcular la suma total de cuadrados, que indica la magnitud de la variación entre las variables dependientes.

En otras palabras, compara cada persona del estudio con la media general.

Si la suma total de cuadrados es grande, significa que las personas del estudio, en cada punto temporal, están muy dispersas entre sí; por otra parte, si la suma total de cuadrados es pequeña, significa que las personas del estudio, en cada punto temporal, están agrupadas.

Para obtener la suma de cuadrados se empieza por restar la media general de la medición de la presión arterial sistólica de cada persona y, después, se eleva al cuadrado, en lo que se denomina diferencia al cuadrado.

A continuación se suman todas las diferencias al cuadrado para obtener la suma total de cuadrados.

Como en este estudio hay 18 personas, se tendrán 18 diferencias al cuadrado; no obstante, para ahorrar tiempo realizaremos solo las tres primeras.

La primera persona del estudio es una mujer que tomó el medicamento A, y su presión arterial sistólica es de 124.

Para esta mujer se resta la media general, que es 129, de 124, lo que es igual a -5.

Luego se eleva al cuadrado, con lo que -5 al cuadrado es 25.

La segunda persona es también una mujer que tomó el medicamento A, y su presión arterial es de 126.

Entonces, 126 menos 129 es -3, que elevado al cuadrado es 9.

Para la tercera persona, que también es una mujer que tomó el medicamento A, se calcula 125 menos 129, que es -4, y después se eleva al cuadrado, para dar 16.

Así, si se suman todas las diferencias al cuadrado de todos los participantes en el estudio se obtiene una suma total de cuadrados de 743.

El tercer paso consiste en determinar la variación entre grupos, que también se denomina suma de cuadrados entre tratamientos o, por sus siglas en inglés, SSB.

La suma de cuadrados entre tratamientos es una medida de la similitud de la media de cada grupo con la media general.

Como se tienen dos factores, es preciso encontrar la suma de cuadrados entre tratamientos para cada factor y sumarlos para obtener la suma total de cuadrados entre tratamientos.

Para obtener la suma de cuadrados entre tratamientos para el factor de medicación se empieza por restar la media general de la media de las filas de cada grupo y se eleva al cuadrado, para obtener la diferencia al cuadrado.

A continuación, se multiplica la diferencia al cuadrado por el número de personas de ese grupo.

Empecemos por el factor de medicación.

Para la medicación 1, la media de la fila es 127,5.

Por lo tanto, la diferencia al cuadrado es 127,5 menos 129, al cuadrado, que es igual a 2,25.

Como hay 6 personas en el grupo de medicación, multiplicamos 2,25 por 6, lo que equivale a 13,5.

Repetimos la acción con los otros dos grupos de medicación: 132 menos 129, al cuadrado, por 6 es 54; y 128,5 menos 129, al cuadrado, por 6 es 1,5.

Al sumar todas las diferencias al cuadrado de todos los medicamentos se obtiene 13,5 más 54 más 1,5, lo que equivale a 69.

Se lleva a cabo un proceso similar para obtener la suma de cuadrados entre tratamientos para el factor sexo, pero esta vez se utilizan las medias de las columnas.

Para los hombres, restamos la media general de la media de la columna y la elevamos al cuadrado.

Así, 133,3 menos 129 es 4,3, y 4,3 al cuadrado es 18,5.

Después multiplicamos este valor por el número de hombres del estudio, que es 9, de modo que 18,5 por 9 es 166,5.