ANOVA de dos vías

El análisis de la varianza, o ANOVA, es un tipo de prueba estadística paramétrica que se utiliza para determinar si existe una diferencia significativa entre las medias o promedios de tres o más grupos.La significación se define normalmente por un valor de p inferior a 0,05, es decir, al 5%.Cuando se realiza una prueba paramétrica, es preciso hacer tres supuestos clave sobre la población.En primer lugar, la población de la muestra debe haber sido reclutada aleatoriamente.La elección de los nombres aleatoriamente garantiza que las personas incluidas en el estudio tendrán características similares a las de la población diana.Esto es importante porque garantiza que los resultados de la prueba de la t pueden aplicarse a la población diana, lo que significa que tiene una buena validez externa.El segundo supuesto establece que cada persona de la muestra fue reclutada de manera independiente con respecto a las demás.En otras palabras, ninguna persona influyó en la inclusión o no de otra en el estudio.Por ejemplo, si dos amigos decidieran medirse la tensión arterial el mismo día y ambos estuvieran incluidos en el estudio, estas dos personas no serían independientes entre sí y no se cumpliría la segunda hipótesis.Al igual que el muestreo aleatorio, el reclutamiento independiente de personas es importante porque garantiza que la población de la muestra se aproxima a la población diana.El tercer supuesto es que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para aproximarse a la población diana, lo que en general significa que es de más de 20 personas.Si es imposible conseguir un tamaño de muestra grande, entonces la población de la muestra debe seguir una distribución normal en forma de campana para la característica que se estudia, porque es lo que esperaríamos ver en la población diana.Supongamos que hay tres fármacos disponibles para reducir la presión arterial sistólica, y que se quiere averiguar si alguno de ellos funciona de forma diferente a los demás.Imaginemos que, además, hay que averiguar si los medicamentos funcionan de forma diferente para los hombres y las mujeres.Digamos que se encuentra a 6 personas (3 hombres y 3 mujeres) que toman el medicamento A durante 6 semanas y que, después, la presión arterial sistólica media es de 130 mmHg para los hombres y de 125 mmHg para las mujeres.A continuación, se encuentra a otros 3 hombres y otras 3 mujeres que han estado tomando la medicación B, después de lo cual la presión arterial sistólica media es de 138 para los hombres y 126 para las mujeres.Finalmente se recluta a 3 hombres y 3 mujeres que han tomado la medicación C, a raíz de lo cual la presión arterial sistólica es de 132 para los hombres y 125 para las mujeres.Estos valores pueden organizarse en una tabla como la que se presenta, donde el sexo se encuentra en la parte superior y el tipo de medicación, en el lateral.Cada celda representa un valor medio de presión arterial sistólica.Para averiguar si el tipo de medicación y el sexo tienen un efecto sobre la presión arterial sistólica, puede utilizarse una prueba ANOVA.En concreto, se utilizaría una prueba ANOVA bifactorial, porque se desea someter a ensayo dos factores (el tipo de medicación y el sexo) que tienen varios grupos cada uno.Se distinguen tres grupos en el factor de medicación (A, B y C) y se utilizarán dos grupos para el sexo (hombre y mujer).Una prueba ANOVA bifactorial maneja seis hipótesis.Las tres primeras son hipótesis nulas.La primera hipótesis nula afirma que no existen diferencias en la presión arterial sistólica de las personas que toman distintos tipos de medicamentos.La segunda hipótesis nula sostiene que no hay diferencias en la presión arterial sistólica de hombres y mujeres.La tercera hipótesis nula dice que no hay interacción entre el tipo de medicación y el sexo.Como interacción se entiende la situación en que un factor influye en la relación entre el segundo factor y el resultado.Así, en este ejemplo, la interacción significaría que el efecto de la medicación sobre la presión arterial sistólica es diferente para los hombres y para las mujeres.Las hipótesis alternativas son las contrarias a las nulas.La primera indica que existe una diferencia en la presión arterial sistólica para las personas que toman distintos tipos de medicación; la segunda afirma que hay una diferencia en la presión arterial sistólica para hombres y mujeres, y la tercera, que puede observarse una interacción entre el tipo de medicación y el sexo.Para probar estas hipótesis se realizan siete pasos.El primer paso consiste en calcular la media de cada factor, es decir, la media de todos los tipos de medicamentos y la media de los dos sexos.Para determinar la presión arterial sistólica media de toda la fila para el grupo de la medicación A se suman las presiones sanguíneas medias de los hombres y las mujeres de ese grupo y se dividen por 2.Así, 130 más 125, dividido por 2, es igual a 127,5.Puede hacerse lo mismo para los grupos de medicación B y C.En este caso, 138 más 126 dividido por 2 es 132.A su vez, 132 más 125, dividido por 2 es 128,5.Por último, puede hallarse la media general (que es la media de las mediciones de presión arterial de todos los grupos de medicación) sumando las medias de cada fila y dividiéndolas por 3.Así, 127,5 más 132 más 128,5 dividido por 3 produce una media general de 129.Para determinar las medias globales de la columna para el segundo factor, se suman las medias de las presiones sanguíneas en cada grupo de medicación y se dividen por 3.Así, para los hombres, 130 más 138 más 132 dividido por 3 es 133,3; para las mujeres, 125 más 126 más 125 dividido por 3 es igual a 125,3.Obsérvese que si se suman las medias de las columnas de ambos sexos y se dividen por 2, se obtiene 129, que es la media general.El segundo paso consiste en calcular la suma total de cuadrados, que indica la magnitud de la variación entre las variables dependientes.En otras palabras, compara cada persona del estudio con la media general.Si la suma total de cuadrados es grande, significa que las personas del estudio, en cada punto temporal, están muy dispersas entre sí; por otra parte, si la suma total de cuadrados es pequeña, significa que las personas del estudio, en cada punto temporal, están agrupadas.Para obtener la suma de cuadrados se empieza por restar la media general de la medición de la presión arterial sistólica de cada persona y, después, se eleva al cuadrado, en lo que se denomina diferencia al cuadrado.A continuación se suman todas las diferencias al cuadrado para obtener la suma total de cuadrados.Como en este estudio hay 18 personas, se tendrán 18 diferencias al cuadrado; no obstante, para ahorrar tiempo realizaremos solo las tres primeras.La primera persona del estudio es una mujer que tomó el medicamento A, y su presión arterial sistólica es de 124.Para esta mujer se resta la media general, que es 129, de 124, lo que es igual a -5.Luego se eleva al cuadrado, con lo que -5 al cuadrado es 25.La segunda persona es también una mujer que tomó el medicamento A, y su presión arterial es de 126.Entonces, 126 menos 129 es -3, que elevado al cuadrado es 9.Para la tercera persona, que también es una mujer que tomó el medicamento A, se calcula 125 menos 129, que es -4, y después se eleva al cuadrado, para dar 16.Así, si se suman todas las diferencias al cuadrado de todos los participantes en el estudio se obtiene una suma total de cuadrados de 743.El tercer paso consiste en determinar la variación entre grupos, que también se denomina suma de cuadrados entre tratamientos o, por sus siglas en inglés, SSB.La suma de cuadrados entre tratamientos es una medida de la similitud de la media de cada grupo con la media general.Como se tienen dos factores, es preciso encontrar la suma de cuadrados entre tratamientos para cada factor y sumarlos para obtener la suma total de cuadrados entre tratamientos.Para obtener la suma de cuadrados entre tratamientos para el factor de medicación se empieza por restar la media general de la media de las filas de cada grupo y se eleva al cuadrado, para obtener la diferencia al cuadrado.A continuación, se multiplica la diferencia al cuadrado por el número de personas de ese grupo.Empecemos por el factor de medicación.Para la medicación 1, la media de la fila es 127,5.Por lo tanto, la diferencia al cuadrado es 127,5 menos 129, al cuadrado, que es igual a 2,25.Como hay 6 personas en el grupo de medicación, multiplicamos 2,25 por 6, lo que equivale a 13,5.Repetimos la acción con los otros dos grupos de medicación: 132 menos 129, al cuadrado, por 6 es 54; y 128,5 menos 129, al cuadrado, por 6 es 1,5.Al sumar todas las diferencias al cuadrado de todos los medicamentos se obtiene 13,5 más 54 más 1,5, lo que equivale a 69.Se lleva a cabo un proceso similar para obtener la suma de cuadrados entre tratamientos para el factor sexo, pero esta vez se utilizan las medias de las columnas.Para los hombres, restamos la media general de la media de la columna y la elevamos al cuadrado.Así, 133,3 menos 129 es 4,3, y 4,3 al cuadrado es 18,5.Después multiplicamos este valor por el número de hombres del estudio, que es 9, de modo que 18,5 por 9 es 166,5.Para las mujeres, se aplica la misma ecuación, cambiando la media de su columna, que es 125,3.Así, 125,3 menos 129, al cuadrado, por 9, es 123.Al realizar la suma de cuadrados entre tratamientos para hombres y mujeres obtenemos 289,5.El cuarto paso en el cálculo de ANOVA persigue encontrar la variación dentro del grupo, que también se denomina suma de cuadrados dentro del grupo, o SSW, por sus siglas en inglés.La suma de los cuadrados dentro del grupo es una medida de la similitud de cada medición individual de la presión arterial con respecto a la media de su propio grupo.La suma de los cuadrados dentro del grupo se denomina a veces suma de errores cuadráticos, porque es la variación de la presión arterial sistólica que no puede explicarse ni por la diferente medicación ni por la diferencia de sexo; por tanto, es una forma de error no explicado en la medición de la presión arterial.Básicamente, es la variación causada por las características individuales, como la edad o las diferencias genéticas.Para encontrar la suma de los cuadrados dentro del grupo, dividimos las mediciones individuales de la presión arterial en dos tablas: una para los hombres y otra para las mujeres.Trabajaremos primero con la tabla de los hombres.Para la suma de cuadrados dentro del grupo, se empieza por encontrar las diferencias al cuadrado para cada persona en un grupo, y para ello, se toma cada medición individual de la presión arterial y se resta la media de ese grupo (que es la media de la fila) para, después, elevarla al cuadrado.Por ejemplo, tomemos las 3 primeras presiones sistólicas, que son las mediciones del grupo de la medicación A.Estos valores son 122, 136 y 133.Dado que la media de la fila del medicamento A es 130, se resta 130 de cada medida individual, por lo que 122 menos 130 es -8, 136 menos 130 es 6 y 133 menos 130 es 3.Luego se eleva al cuadrado cada número y se suman todos para obtener la diferencia al cuadrado.Por lo tanto, si se suman -8 al cuadrado, o 64, y 6 al cuadrado, o 36, y 3 al cuadrado, o 9, se obtiene 109.Para ahorrar tiempo, rellenaremos sin explicarlos el resto de los valores de la tabla.Con todo, es importante darse cuenta de que las siguientes tres filas usaron la media de la fila para el Medicamento B y las últimas tres filas usaron la media de la fila para el Medicamento C.Cuando sumamos todas las diferencias al cuadrado para los hombres, obtenemos una suma de cuadrados dentro del grupo de 275.A continuación, utilizamos el mismo proceso para encontrar las diferencias al cuadrado para la tabla de mujeres, pero las medias de las filas que se utilizan esta vez son 125, 126 y 125 para los grupos de Medicación A, B y C.Si sumamos todas las diferencias al cuadrado del grupo femenino, obtenemos 58.Por último, para determinar la suma total de cuadrados dentro de todas las personas del estudio, sumamos la suma de cuadrados dentro del grupo de los hombres y de las mujeres.Entonces, 275 más 58 es igual a 333.Para el quinto paso, tenemos que volver a la suma total de cuadrados, que hemos calculado en el paso 2.Conceptualmente, podemos pensar en la suma total de cuadrados como el agregado de todas las diferentes sumas de cuadrados de un estudio.Así, en un ANOVA bifactorial, la suma total de cuadrados incluye la suma de cuadrados dentro del grupo para el factor de la medicación, la suma de cuadrados dentro del grupo para el factor del sexo, la suma de cuadrados dentro del grupo y la suma combinada de cuadrados para la medicación y el sexo, que no hemos calculado todavía.De hecho, la forma más fácil de calcular la suma combinada de cuadrados es introducir todos los demás números de la ecuación, de forma que el único número que falta es la suma combinada de cuadrados.Así, la suma total de cuadrados, o 743, es igual a la suma de cuadrados dentro del grupo para la medicación, o 69, más la suma de cuadrados dentro del grupo para el sexo, o 289,5, más la suma de cuadrados dentro del grupo, o 333, más la suma combinada de cuadrados.Podemos reducir esta ecuación a que 743 es igual a 691,5 más la suma de los cuadrados.Si restamos 691,5 de ambos lados, tenemos que la suma combinada de cuadrados es igual a 51,5.El sexto paso consiste en calcular la media cuadrática de cada una de las sumas de cuadrados.La media cuadrática es similar a la suma de cuadrados, pero tiene en cuenta los grados de libertad, que son valores que dan cuenta del número de grupos, del número de personas en el estudio o de ambos.La ecuación de la media cuadrática es la suma de los cuadrados dividida entre los grados de libertad.Para calcular la media cuadrática de la medicación, dividimos la suma de cuadrados de la medicación, que es 69, entre los grados de libertad, que es el número de grupos menos 1.Como hay 3 grupos de medicación, la media cuadrática es 69 dividido por 3 menos 1, lo que equivale a 34,5.Para la media cuadrática para el sexo, dividimos la suma de cuadrados dentro del grupo para el sexo, que es 289,5, entre el número de grupos menos 1.Como el número de grupos por sexo es 2, la media cuadrática es 289,5 dividido por 1, que sigue siendo 289,5.Para la media cuadrática combinada para la medicación y el sexo, dividimos la suma combinada de cuadrados, que es 51,5, entre el número de grupos de medicación menos 1, entre el número de grupos de sexo menos 1.Así, la media cuadrática combinada es 51,5 dividido por 3 menos 1, o 2, por 2 menos 1, o 1, es igual a 25,75.Para el error cuadrático medio, dividimos la suma de los cuadrados del grupo, que es 333, entre el número total de personas en el estudio, menos el número de grupos de medicación por el número de grupos de sexo.Hay 18 personas en el estudio, así que 18 menos tres veces 2, o sea 6, es 12.Por lo tanto, el error cuadrático medio es 333 dividido por 12, que es igual a 27,8.El séptimo y último paso de la prueba ANOVA es calcular el estadístico F o F-stat, y para ello dividimos la media cuadrática de la medicación, la media cuadrática del sexo y la media cuadrática combinada de cada uno entre el error cuadrático medio.Así, el estadístico F para la medicación es de 34,5 entre 27,8, o sea 1,2.El estadístico F para el sexo es 289,5 entre 27,8, o 10,4.A su vez, el estadístico F para el sexo y la medicación es de 25,75 sobre 27,8, es decir, 0,9.Para saber si se trata de estadísticos F significativos, tenemos que compararlos con los valores críticos del estudio, que son números predeterminados utilizados para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula.Si el valor de un estadístico F es mayor que su valor crítico, entonces la hipótesis nula para ese factor es falsa.Los valores críticos se pueden encontrar en una tabla de distribución F como esta, que tiene los grados de libertad para el numerador de la ecuación del estadístico F en la parte superior y los grados de libertad para el denominador de la ecuación del estadístico F en el lateral.Normalmente, el grado de significación de la tabla de distribución F es de 0,05, es decir, del 5%.Para la medicación, los grados de libertad del numerador son 2 y los del denominador son 12, por lo que encontramos un valor crítico de 3,89.El valor de nuestro estadístico F es 1,2, que está por debajo del valor crítico de 3,89, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula, y concluimos que no hay diferencias en la presión arterial sistólica de las personas que utilizan diferentes tipos de medicación.Para el sexo, los grados de libertad del numerador son 1 y los del denominador son 12, por lo que el valor crítico es 4,75.El valor d