ANOVA de medidas repetidas

Definitions & Key takeaways

Analysis of variance, or simply, ANOVA, is a type of parametric test used to compare the means of multiple groups. It is used to determine if there's a significant difference between the means or averages of three or more groups. Repeated measures ANOVA help to analyze change among these means over different times, and it is widely used in fields such as psychology, medicine, and biology.

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El análisis de la varianza, o ANOVA, es un tipo de prueba estadística paramétrica que se utiliza para determinar si existe una diferencia significativa entre las medias o promedios de tres o más grupos.
La significación se define normalmente por un valor de p inferior a 0,05, es decir, al 5%. Cuando se realiza una prueba paramétrica, es preciso hacer tres suposiciones clave sobre la población.
En primer lugar, la población de la muestra debe haber sido reclutada aleatoriamente. La elección de los nombres aleatoriamente garantiza que las personas incluidas en el estudio tendrán características similares a las de la población diana.
Esto es importante, porque asegura que los resultados de la prueba se pueden aplicar a la población diana, lo que significa que tiene una buena validez externa.
El segundo supuesto establece que cada persona de la muestra fue reclutada de manera independiente con respecto a las demás.
En otras palabras, ninguna persona influyó en la inclusión o no de otra en el estudio. Por ejemplo, si dos amigos decidieran medirse la presión arterial el mismo día y ambos estuvieran incluidos en el estudio, estas dos personas no serían independientes entre sí y no se cumpliría la segunda hipótesis.
Al igual que el muestreo aleatorio, el reclutamiento independiente de personas es importante, porque garantiza que la población de la muestra se aproxima a la población diana.
El tercer supuesto es que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para aproximarse a la población diana, lo que en general significa que es de más de 20 personas.
Si es imposible conseguir un tamaño de muestra grande, entonces la población de la muestra debe seguir una distribución normal en forma de campana para la característica que se estudia, porque es lo que esperaríamos ver en la población diana.Supongamos que hay un determinado fármaco para la presión arterial, llamado fármaco A, y se quiere averiguar si ayuda a reducir la presión arterial sistólica después de tomarlo durante tres meses y durante seis meses, respectivamente.
Así pues, se toman 10 personas y se les da a cada una de ellas el fármaco A. A continuación, se mide la presión arterial sistólica de cada una de ellas en el instante 1 (en el que se les administra inicialmente el fármaco) y luego se vuelve a medir en el instante 2, por ejemplo, 3 meses después, y en el instante 3, es decir, 6 meses después de que hayan empezado a tomar la medicación.
Se descubre que la medición de la presión arterial sistólica media en el instante 1 es de 138; en el instante 2 es de 132, y en el instante 3 es de 130.
El siguiente paso consiste averiguar si 138, 132 y 130 son significativamente diferentes entre sí, para lo cual se recurre a una prueba ANOVA.
En concreto, se elegiría una prueba ANOVA de medidas repetidas, porque se está analizando el mismo grupo de personas en múltiples períodos de tiempo.
En una prueba ANOVA de medidas repetidas, el tiempo es la variable independiente y, en este ejemplo, la variable dependiente es la presión arterial sistólica.
Podría resultar tentador pensar que, en este estudio, el tipo de medicación es la variable independiente, pero no sucede así, ya que todos los participantes en dicho estudio toman el mismo tipo de medicación.La prueba ANOVA de medidas repetidas es diferente a la prueba ANOVA unifactorial independiente, que examina varios grupos de personas en un punto temporal.
Por ejemplo, supongamos que hay tres fármacos llamados A, B y C. Una prueba ANOVA unifactorial compararía las mediciones de la presión arterial sistólica de las personas que han estado tomando uno de los tres tipos de fármacos durante 6 meses.
En este ejemplo, el tipo de medicación sería la variable independiente, y no el tiempo, porque se mide la presión arterial de todas las personas del estudio en el mismo instante.
Normalmente, una prueba ANOVA de medidas repetidas parte de dos hipótesis. La primera es la hipótesis nula, y sostiene que las medias de cada grupo son iguales.
En otras palabras, la hipótesis nula indica que la media de la presión arterial sistólica es la misma para las personas en el tiempo 1, 2 y 3.
La segunda hipótesis es la hipótesis alternativa, y afirma que al menos la media de un grupo es significativamente diferente de las demás.
Así, la hipótesis alternativa en nuestro ejemplo es que la media de la presión arterial sistólica no es la misma para las personas en el tiempo 1, 2 y 3.
Una cosa importante que hay que saber es que el ANOVA no dice qué media del grupo es diferente a la de los demás o si la media es mayor o menor; simplemente indica que las medias de los grupos no son iguales.
Para probar estas hipótesis se siguen seis pasos. El primer paso consiste en calcular la media de cada grupo individual y la media global o general, que es la media de las mediciones de la presión arterial de todos los grupos.
Como las medias de cada grupo son 138, 132 y 130, podemos calcular la media global sumando cada grupo, es decir, 138 más 132 más 130, lo que supone 400.
A continuación, se divide entre el número de grupos, que es 3. Así, la media global es 400 dividido entre 3, es decir, aproximadamente 133.
El segundo paso es hallar la variación entre grupos, que también se denomina suma de cuadrados entre tratamientos, o SSB, por sus siglas en inglés.
La suma de cuadrados entre tratamientos es una medida de la semejanza de la media de cada grupo con la media general. Para hallar la suma de cuadrados entre tratamientos, primero se resta la media de cada grupo de la media global y se eleva al cuadrado, lo que se denomina diferencia al cuadrado.
A continuación, se multiplica la diferencia al cuadrado por el número de personas de ese grupo. En una prueba ANOVA de medidas repetidas, el número de personas en cada grupo se mantiene constante, a menos que las personas abandonen el estudio en el transcurso del mismo.
En este ejemplo, hay 10 personas en cada grupo. Así, para el tiempo 1, restamos la media de la presión arterial del grupo del tiempo 1, que es 138, de la media general, que es 133, lo cual es igual a -5.
La diferencia al cuadrado es -5 al cuadrado, o 25, y 25 por 10 es 250. Para el grupo del tiempo 2, la media es 132, por lo que 133 menos 132 es 1, y 1 al cuadrado sigue siendo 1, de manera que 1 por 10 es igual a 10.
Para el grupo del tiempo 3, la media es 130, por lo que 133 menos 130 es 3. 3 al cuadrado es 9, y 9 por 10 es 90.
Ahora que tenemos los valores de cada grupo, los sumamos para obtener la suma de cuadrados entre tratamientos. Así, 10 más 250 más 90 es 350.
Una suma de cuadrados entre tratamientos más alta indica que las medias de los grupos y la media general están dispersas o son diferentes entre sí, mientras que si la suma de cuadrados entre tratamientos es baja, señala que las medias de los grupos son bastante similares a la media general.
El tercer paso en el cálculo del ANOVA consiste en determinar la variación dentro del grupo, que también se denomina suma de cuadrados dentro del tratamiento, o SSW, por sus siglas en inglés.
La suma de los cuadrados dentro del tratamiento es una medida de la similitud de cada medición individual de la presión arterial con respecto a la media de su propio grupo.
Para calcular la suma de los cuadrados dentro del tratamiento, primero se hallan las diferencias al cuadrado de cada persona de un grupo y, para ello, se toma cada medida individual de la presión arterial, se resta la media de ese grupo y se eleva al cuadrado.
Por ejemplo, tomemos las 3 primeras mediciones de la presión arterial sistólica en el grupo del tiempo 1, que son 129, 142 y 143.
Dado que la media del grupo es 138, se resta 138 a cada medida individual, de modo que 129 menos 138 es -9, 142 menos 138 es 4 y 143 menos 138 es 5.
A continuación, se eleva al cuadrado cada número y se suman todos para obtener la diferencia al cuadrado, de modo que cuando se suman el -9 al cuadrado, o sea 81, y el 4 al cuadrado, o sea 16, y el 5 al cuadrado, o sea 25, se obtiene 122.
La diferencia al cuadrado es mayor para los grupos con más personas, así que digamos que la diferencia al cuadrado del grupo de tiempo 1 es de 330, y las diferencias al cuadrado de los grupos de tiempo 2 y del tiempo 3 son 310 y 265.
Como regla general, si todos los grupos tienen tamaños de muestra iguales (por ejemplo, cada grupo cuenta con 10 personas) entonces los grupos con diferencias cuadradas más altas, como el grupo del tiempo 1, tienen más variación que los que tienen diferencias cuadradas menores, como el grupo del tiempo 3.
En otras palabras, las mediciones individuales de la presión arterial de las personas del grupo del tiempo 1 están más repartidas que las de las personas del grupo del tiempo 3.
Para obtener la suma de cuadrados dentro del tratamiento, se suman todas las diferencias al cuadrado de cada grupo. Así que 330 más 310 más 265 es igual a 905.Para realizar el paso 4, tenemos que saber un poco más sobre la suma de cuadrados dentro del tratamiento.
La suma de cuadrados dentro del tratamiento se compone de la variación para cada sujeto, que también se denomina suma de cuadrados de los sujetos, o SSs, por sus siglas en inglés, y del error aleatorio, que recibe también el nombre de suma de errores cuadráticos, o SSE, por sus siglas en inglés.
Los valores de la suma de cuadrados de los sujetos y de la suma de errores cuadráticos se añaden al valor de la suma de cuadrados dentro del tratamiento.
La suma de cuadrados de los sujetos es básicamente la variación causada por las diferencias en las características individuales de las personas, como el sexo, la edad o las diferencias genéticas.
Por ejemplo, supongamos que estamos midiendo la presión arterial en dos grupos de personas. Las personas mayores suelen tener una presión arterial más elevada, por lo que, si hay muchas personas de edad avanzada en un grupo y muchos jóvenes en el otro, las mediciones individuales de la presión arterial en el primero serán más altas que en el segundo, y la suma de cuadrados de los sujetos será alta.
Lo bueno de las pruebas ANOVA de medidas repetidas es que no se cuenta la suma de cuadrados de los sujetos, porque las personas son iguales en todos los grupos.
Por ejemplo, si hay personas mayores en el grupo del tiempo 1, también las habrá en los grupos del tiempo 2 y del tiempo 3, porque son exactamente las mismas personas.
La otra parte de la variación dentro del grupo es la suma de errores cuadráticos. La suma de errores cuadráticos es simplemente el resultado de factores no controlados en un experimento.
Por ejemplo, la presión arterial tiende a ser ligeramente más alta en los días fríos que en los cálidos. Por lo tanto, si comparamos la presión arterial de dos grupos de personas, pero la presión arterial del primer grupo se tomó en un día más frío y la del segundo en uno más caluroso, es probable que el primer grupo tenga una presión arterial ligeramente superior.
A menudo, en un experimento habrá muchas pequeñas fuentes de error desconocidas que contribuyen a las diferencias individuales entre los grupos.Dado que la suma de cuadrados de los sujetos es redundante en una prueba de ANOVA de medidas repetidas, solo se utiliza la suma de errores cuadráticos.
Es posible calcular la suma de errores cuadráticos restando la suma de los cuadrados de los sujetos de la variación dentro del grupo, o suma de los cuadrados dentro del tratamiento.
Ya hemos calculado la suma de cuadrados dentro del tratamiento, que es 905, así que el cuarto paso consiste en calcular la suma de cuadrados de los sujetos y la suma de errores cuadráticos.Para calcular la suma de cuadrados de los sujetos, primero se determina el valor medio de la presión arterial de cada sujeto para cada uno de los tres grupos.
Por ejemplo, supongamos que la primera persona del estudio tenía mediciones de presión arterial sistólica de 129, 127 y 122 para los tiempos 1, 2 y 3.
Por tanto, la presión arterial media de esa persona sería de 129 más 127 más 122, lo que supone 378, dividido entre 3, que es igual a 126.
A continuación, para obtener la diferencia al cuadrado de esa persona, se resta la media general, que es 133, de 126, y se eleva al cuadrado.
Así que 126 menos 133 es 7 negativo, y 7 negativo al cuadrado es 49. Para obtener la suma de cuadrados de los sujetos se calcula la diferencia al cuadrado de cada una de las diez personas del estudio, y después se suman y se multiplica ese número por el número de grupos, que en este caso es 3.
Así, en el ejemplo, la suma de todas las diferencias al cuadrado es 290, y 290 por 3 es 870. Ahora que tenemos la suma de cuadrados de los sujetos, que es 870, se puede restar de la variación dentro del grupo, o suma de cuadrados dentro del tratamiento, que es 905, para obtener la suma de errores cuadráticos.
Así, 905 menos 870 es igual a 35. El quinto paso en el ANOVA de medidas repetidas es encontrar la media cuadrática del tratamiento, o MST, y el error cuadrático medio, o MSE, por sus siglas en inglés.
La media cuadrática del tratamiento, también conocida como media cuadrática entre grupos, es otra medida de la variabilidad entre grupos, pero tiene en cuenta el número de grupos que se prueban.
Se calcula dividiendo la suma de cuadrados entre tratamientos por sus grados de libertad, que es el número de grupos menos 1.
Como la suma de cuadrados entre tratamientos es 350 y hay 3 grupos, la media cuadrática del tratamiento es 350 dividido entre 3 menos 1, o sea 2.
Por lo tanto, 350 entre 2 es 175. La media cuadrática del error se asemeja a la suma de los errores cuadráticos, pero tiene en cuenta el número de personas y de grupos en el estudio.
Para calcular la media cuadrática del error se divide la suma de error al cuadrado dentro del tratamiento entre los grados de libertad del error, que en este caso es el tamaño de la muestra en todos los grupos menos 1, por el número de grupos en el estudio menos 1.
En este ejemplo, hay 10 personas y 3 grupos, por lo que los grados de libertad del error serán 10 menos 1, o 9, por 3 menos 1, o 2, lo que equivale a 18.
Así pues, la suma de los errores cuadráticos es 35, por lo que la media cuadrática del error es 35 dividido entre 18, es decir, 1,94.El sexto y último paso de la prueba ANOVA consiste en calcular el estadístico F o F-stat, que es la media cuadrática del tratamiento, o la variación explicada, dividida entre la media cuadrática del error, o la variación no explicada.
En nuestro ejemplo, la media cuadrática del tratamiento es 175 y la media cuadrática del error es 1,94, por lo que 175 dividido por 1,94 es igual a 90,2.
Para averiguar si se trata de un estadístico F significativo, tenemos que comparar el estadístico F con el valor crítico del estudio, que es un número predeterminado utilizado para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula.
Si el valor del estadístico F es mayor que el valor crítico, la hipótesis nula es falsa y se puede concluir que existe una relación significativa entre la medicación y la presión arterial.Los valores críticos se pueden encontrar en una tabla de distribución F como la que se muestra, que tiene los grados de libertad para la suma de cuadrados entre tratamientos en la parte superior y los grados de libertad para la suma de cuadrados dentro del tratamiento, en el lateral.
En el ANOVA de medidas repetidas, la columna lateral representa el grado de libertad de la suma de cuadrados-error de la suma de cuadrados-dentro, en lugar del valor total.
Normalmente, el grado de significación de la tabla de distribución F es de 0,05, es decir, del 5%. Si se utilizan 2 grados de libertad para la suma de los cuadrados entre tratamientos y 27 grados de libertad para la suma de los cuadrados de errores, se obtiene un valor crítico de 3,35.
El valor de nuestro estadístico F es de 90,2, mucho más alto que el valor crítico de 3,55, por lo que podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que la presión arterial sistólica media de al menos un grupo es significativamente diferente de los demás.Las pruebas de ANOVA se calculan, en general, mediante un programa informático estadístico, que suele proporcionar un valor de p.
Este valor de p es la probabilidad de obtener un estadístico F determinado o un estadístico F superior, si la hipótesis nula es verdadera.
En resumen, el valor de p elimina el paso de calcular el valor crítico. Así pues, si se utiliza un grado de significación de 0,05, una prueba con un valor de p inferior a 0,05 indicará que la hipótesis nula es falsa y que al menos la presión arterial sistólica media de un grupo es diferente a la de los demás.Por último, es importante tener en cuenta que, si no se cumplen los supuestos de una prueba ANOVA, no se puede asegurar que los resultados puedan aplicarse a la población diana, por lo que no debería utilizarse un ANOVA.
En cambio, para un ANOVA de medidas repetidas podríamos utilizar una prueba no paramétrica llamada prueba de Friedman, que no se basa en supuestos paramétricos.
En resumen, la prueba de Friedman compara las medianas de los grupos para determinar si una de las medianas del grupo es diferente a las demás.
Así que, en este caso, se determina si la mediana de la presión arterial es diferente en un punto temporal en comparación con los demás.
Las pruebas paramétricas suelen ser preferidas a las no paramétricas, por lo que los resultados de la prueba de Friedman no se consideran tan sólidos como los de la prueba ANOVA.Y ahora, un resumen rápido: las pruebas ANOVA son un tipo de prueba paramétrica que se utiliza para comparar las medias de varios grupos.
Cada prueba ANOVA tiene una hipótesis nula y una hipótesis alternativa, y para probar estas hipótesis se puede calcular un estadístico F dividiendo la media cuadrática del tratamiento entre el error cuadrático medio.
Este estadístico F puede compararse con un valor crítico para determinar si las medias de los grupos son iguales o no. Para hacer un ANOVA deben cumplirse tres supuestos: muestreo aleatorio, reclutamiento independiente y tamaño de la muestra grande o distribución normal.
Si no se cumplen estos supuestos, se puede utilizar la prueba de Friedman para determinar si las medianas de los grupos son iguales o no.**NE LINE**